Zawodnik, który za niespełna dwa miesiące skończy 24 lata jest wychowankiem HNK Sibenik. Od 2021 roku był zawodnikiem Dinama Zagrzeb, z którym wywalczył trzy tytuły mistrza Chorwacji oraz krajowy puchar i superpuchar.
W sezonie 2023/24 w barwach Dinama trzykrotnie wystąpił w Lidze Mistrzów, ale ostatni sezon spędził na wypożyczeniu w belgijskim Standardzie Liege.
Wyceniany na aż 2 mln euro (w szczycie nawet 3,5 mln euro) Bulat przeszedł do Rakowa na zasadzie transferu definitywnego i związał się z częstochowskim klubem pięcioletnim kontraktem, który ma obowiązywać do 30 czerwca 2030 roku.
"Jestem ciężko pracującym zawodnikiem, dobrze wykonuję stałe fragmenty gry, sprawdzam się w ofensywie i defensywie, opisałbym siebie jako pomocnika box-to-box" - tymi słowami piłkarz opisał się w pierwszej rozmowie z klubowymi mediami w Częstochowie.
