Majchrzak jest wychowankiem Warty Zawiercie. Do akademii Legii trafił jesienią 2020 roku jako 16-latek. Grał w drużynach juniorskich i zespole do lat 19. W 2022 roku został wypożyczony do drużyny AS Roma do lat 21, ale trenował też z pierwszym zespołem i w marcu 2023 zaliczył krótki debiut w Serie A.
W czerwcu 2023 roku wrócił do Legii, skąd został wypożyczony do Puszczy Niepołomice, w której rozegrał 21 meczów.
Majchrzak w pierwszym zespole Legii zadebiutował 25 lipca 2024 roku w meczu eliminacji Ligi Konferencji przeciwko Caernarfon Town FC i wystąpił również w rewanżu z walijskich klubem, a także w spotkaniach z Omonią Nikozja w LK i Koroną Kielce w ekstraklasie. Ogółem w pierwszym zespole rozegrał cztery spotkania. Na boisku przebywał łącznie przez 98 minut.
W drugiej części sezonu 2024/25 napastnik był na wypożyczeniu w Arce Gdynia. Dla żółto-niebieskich w 1. lidze strzelił jednego gola w 15 spotkaniach.
Z kolei w polskiej ekstraklasie rozegrał łącznie 20 spotkań i uzyskał jedną bramkę.
Latem Majchrzak wrócił do Legii, lecz nowy trener Edward Iordanescu uznał, że nie będzie korzystał z jego usług. Według portalu Transfermarkt VfB Stuttgart zapłacił za napastnika 150 tysięcy euro. Na razie napastnik będzie zawodnikiem drużyny U21.
W klubowych mediach transfer skomentował Stephan Hildebrandt, dyrektor akademii młodzieżowej: "Jordan, mając 192 cm wzrostu, już teraz imponuje wzrostem jako środkowy napastnik. Jego gra opiera się na intensywności i mentalności. Jest odważnym, bardzo wytrzymałym napastnikiem i powinien sprawić, że będziemy jeszcze bardziej konkurencyjni właśnie w tych obszarach. Jordan ma już doświadczenie w grze za granicą i ufamy, że szybko zaadaptuje się do piłkarskiego świata Stuttgartu".