Kownacki jest wychowankiem Lecha Poznań. W 2017 roku przeszedł do Sampdorii Genua. W styczniu 2019 roku został wypożyczony do Fortuny Duesseldorf, a rok później przeszedł do niemieckiego klubu za 6,75 mln euro. W sezonie 2021/22 na kilka miesięcy został wypożyczony do Lecha, z którym zdobył mistrzostwo Polski.
W 2023 roku napastnik przeszedł do Werderu Brema. Dla biało-zielonych rozegrał 22 mecze, lecz głównie wchodził z ławki rezerwowych. W ciągu 364 minut ani razu nie trafił do bramki.
W zeszłym sezonie Kownacki grał na wypożyczeniu w drugoligowej Fortunie Duesseldorf. W 29 meczach strzelił 13 goli i zanotował pięć asyst. Łącznie przez kilka lat w 2. Bundeslidze w 95 spotkaniach zdobył 34 bramki i zaliczył 19 asyst.
"Byliśmy w kontakcie z Dawidem od dłuższego czasu i jesteśmy bardzo szczęśliwi, że udało nam się go pozyskać. Wnosi wiele cech, których szukaliśmy – umiejętność wykańczania akcji, panowania nad piłką i główkowania. Ma również duże doświadczenie i udowodnił swoje umiejętności w 2. Bundeslidze w ostatnich latach" – wyjaśnił dyrektor sportowy Herthy Benjamin Weber.
Hertha dwukrotnie zdobyła mistrzostwo Niemiec. W 2023 roku spadła z Bundesligi. W zeszłym sezonie zajęła 11. miejsce w drugiej lidze.
W berlińskim klubie w przeszłości grało kilku polskich piłkarzy. Byli to m.in. Krzysztof Piątek, Łukasz Piszczek, Artur Wichniarek, Piotr Reiss i Bartosz Karwan. Od dwóch lat zawodnikiem Herthy jest Michał Karbownik.