Klich swoją seniorską karierę rozpoczynał w Cracovii i to właśnie z niej w 2011 roku odszedł za granicę, a konkretnie do VfL Wolfsburg, gdzie jednak nie zrobił wielkiej kariery. Jego kariera nabrała tempa na wypożyczeniu do PEC Zwolle, które wypożyczyło go w styczniu 2013 roku, a następnie wykupiło za 200 tysięcy euro.
Rok później Wolfsburg zdecydował się odkupić Klicha za 750 tysięcy euro, ale ponownie nie przebił się do składu Wilków, a pół roku później trafił do 1. FC Kaiserslautern, W 2016 roku wrócił do Holandii, bo wykupiło go FC Twente. Po roku przeniósł się do Anglii, a konkretnie do Leeds United. W styczniu 2018 roku trafił na wypożyczanie do Utrechtu, ale od czerwca 2018 jego tułaczka po klubach się zakończyła.
Od tego momentu na kilka sezonów stał się kluczowym graczem Leeds United, dla którego zagrał łącznie 195 meczów, strzelając 24 gole i notując 21 asyst. Ma na koncie 82 mecze w Premier League, gdzie grał przez 2,5 sezonu.
W styczniu 2023 roku przeniósł się do MLS, gdzie grał dla D.C. United, a niecały rok później trafił do Atlanty United, która zrezygnowała z jego usług w lipcu tego roku i Mateusz Kich został "wolnym zawodnikiem". To otworzyło przed nim szansę w wieku 35 lat na powrót do Polski, a konkretnie do Cracovii.
Klich zagrał 41 meczów dla reprezentacji Polski, której był podstawowym zawodnikiem podczas Euro 2021.